El poema de los números primos (2)

Con motivo de la exposición Esther Ferrer 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… (del 5 de abril al 26 de mayo de 2019), de la artista donostiarra Esther Ferrer, en el Centro Internacional de Cultura Contemporánea Tabakalera, de Donostia/San Sebastián, en la anterior entrada del Cuaderno de Cultura Científica El poema de los números primos, estuvimos analizando las matemáticas que están detrás de algunas de sus obras de la serie Poema de los números primos: los números primos, la criba de Eratóstenes, la espiral de Ulam, los polinomios cuadráticos o las lagunas de números primos.

Portada y contraportada de la publicación Orriak del Centro Internacional de Cultura Contemporánea Tabakalera, sobre la exposición Esther Ferrer 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…

En esta entrada vamos a completar este pequeño paseo por la serie de obras Poema de los números primos de Esther Ferrer. Para empezar, mostraremos un grupo de dibujos para suelo de esta serie que utiliza una variación rectangular de la espiral de Ulam para generar diferentes estructuras geométricas planas

Dibujos para suelo de la serie Poema de los números primos (2016), de Esther Ferrer, realizados en tinta sobre papel, 83,5 x 59,5 cm, pertenecientes al archivo personal de la artista. Imagen del catálogo Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta, del Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofía.

Estos dibujos para suelo, que son solo cuatro de un grupo más amplio realizado en 2016, nos recuerdan el objetivo de la artista Esther Ferrer al utilizar los números primos, que es hacer uso de las matemáticas como una herramienta objetiva, es decir, que sus preferencias estéticas jueguen un papel secundario en el proceso de creación artístico, para generar estructuras geométricas planas. La base matemática de las cuatro obras anteriores, como explicaremos a continuación, son la espiral de Ulam rectangular y las lagunas de números primos, que crean un patrón geométrico base que subyace a la serie de dibujos, pero que debido a la intervención de la artista cada uno de ellos adquiere un desarrollo estético propio, sorprendente y atractivo.

La base para esta serie de obras es similar a la espiral de Ulam. En ese caso, como puede verse en la entrada anterior, El poema de los números primos, se consideraba una cuadrícula cuadrada sobre la que se escribían los números naturales, empezando en 1 (aunque también podía empezarse en cualquier otro número, como el 17, el 41 o el 1.344.326.696.347) que se colocaba en la cuadrícula superior izquierda de la subcuadrícula central 2 x 2, de manera que los números eran escritos en orden creciente y distribuidos alrededor del 1 formando una espiral de números.

Para estas obras Esther Ferrer construye lo que podríamos llamar la espiral de Ulam rectangular, ya que en lugar de iniciar la espiral en la celda superior izquierda de la una subcuadrícula central 2 x 2, luego cuadrada, lo hace en la celda superior izquierda de la una subcuadrícula central 2 x 26, luego rectangular, de forma que al desarrollar la espiral alrededor queda un retículo rectangular, similar a la que vemos en la siguiente imagen.

Además, en este grupo de obras, otro elemento fundamental para crear los patrones geométricos planos son las lagunas de números primos, es decir, los grupos de números no primos o compuestos entre dos números primos (véase la entrada Buscando lagunas de números primos), con la diferencia, respecto a otras obras que hemos comentado, de que en este grupo de dibujos incluye al número primo anterior a la laguna como parte de la misma (que podríamos llamar laguna aumentada). Por ejemplo, entre los números primos 13 y 17 hay una laguna de tres números compuestos, de forma que Esther Ferrer considera la laguna aumentada formada por los números 13, 14, 15 y 16, después vendría la laguna aumentada 17 y 18, seguida de 19, 20, 21 y 22, y después, 23, 24, 25, 26, 27 y 28.

En esta serie de obras, las celdas de cada laguna aumentada de números primos son tratadas de una forma uniforme, cambiando el tratamiento de una laguna aumentada respecto a la siguiente, de forma alternada. Así, en la obra que se muestra a continuación, también de este grupo de dibujos para suelo que se ha podido ver en la exposición de Tabakalera, las celdas se pintan de rojo o negro en función de la laguna aumentada a la que pertenezcan y cambiando el color de una laguna a la siguiente. Por ejemplo, la celda 1 (que es una laguna de una sola celda) es roja, después la celda 2 (también una laguna solitaria) es negra, la laguna aumentada 3 – 4 tiene sus celdas rojas, mientras que son negras las casillas de la laguna aumentada 5 – 6 y de nuevo rojas las de 7 – 8 – 9 – 10, y así están pintadas de negro o rojo el resto de lagunas aumentadas. Trabajando de esta forma la artista, que ha sido galardonada con el Premio Nacional de Artes Plásticas en 2008 o el Premio Velázquez de Artes Plásticas en 2014, consigue la sorprendente e interesante creación artística que vemos en la siguiente imagen.

Dibujo para suelo de la serie Poema de los números primos (2016), de Esther Ferrer, realizados en tinta sobre papel cebolla, 83,5 x 59,5 cm, expuesto en Esther Ferrer 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (Tabakalera, 2019) y perteneciente al archivo personal de la artista. Fotografía: Raúl Ibáñez

En cada una de las obras de este grupo particular dentro de la serie Poema de los números primos, Esther Ferrer interviene de forma diferente sobre las lagunas aumentadas de números primos, creando toda una serie de patrones geométricos planos, aunque con una base matemática común, que producen efectos visuales distintos, como puede observarse en las anteriores imágenes.

En la conversación entre Esther Ferrer, Laurence Rassel y Mar Villaespesa con motivo de la exposición Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta (Palacio de Velázquez, en el Parque del Retiro de Madrid, Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofía, 2017), Laurence Rassel le pregunta a Esther Ferrer “¿Cómo es el proceso de trabajo con los números primos?”, a lo que la artista contesta:

Primero decido el tipo de soporte y cómo voy a distribuir los números en el espacio, es la base. Luego decido el sistema que define la estructura de la obra, que tiene varios parámetros: si va a ser una obra única o una serie, para poder decidir a partir de qué número empieza, si los números en el espacio se reparten en círculo o en líneas horizontales o verticales, si se emplea color o no, y un largo etcétera. Finalmente decido la forma en que los voy a relacionar, y a partir de ahí me planteo las líneas y el color, si lo hay. Por ejemplo, puedo trabajar los números primos a partir de la espiral de Ulam. Al utilizarla se crea una línea ininterrumpida durante cierta cantidad de números. Me gustó la idea de escribirlos en espiral, como una galaxia, los números primos tienen algo que ver con la estructura del universo; a medida que progresas en la serie hay menos números, el espacio entre ellos se agranda, me gusta ese vacío, es como si la serie se expandiera, como el universo.

Existen algunas variantes de la distribución de la espiral de Ulam de los números primos de manera que la estructura general de la espiral de los números naturales genera una forma triangular, hexagonal o circular, en lugar de la forma cuadrada de la espiral de Ulam original, o la rectangular utilizada por Esther Ferrer en las obras. La autora de la serie Poema de los números primos se ha interesado por la espiral de Ulam hexagonal, generando toda una familia de obras basada en esta estructura.

Pero antes de hablar de estas obras, me gustaría mencionar lo que podríamos llamar una variante por anticipación, puesto que en el año 1932 (más de treinta años antes de que a Ulam se le ocurriese la idea de la espiral) el herpetólogo, es decir, zoólogo especializado en reptiles y anfibios, estadounidense Laurence Monroe Klauber (1883 – 1968) presentó en el congreso The March Meeting of the Southern California Section de la Asociación Americana de Matemáticas (MAA) una ponencia sobre un triángulo de números naturales en el que se destacaba la distribución de los números primos, y en particular, los generados por el polinomio de Euler n2 + n + 41.

Este triángulo no está generado en espiral, sino distribuyendo los números en orden creciente desde el vértice de arriba y fila a fila, hacia abajo. Es decir, en la primera fila se coloca en 1, en la segunda los números 2, 3 y 4, en la tercera los números del 5 al 9, y así en la fila n-ésima están colocados los números del (n – 1)2 + 1 hasta n2, como en la siguiente imagen.

Sobre esa distribución triangular de los números se marcan los números primos. Por ejemplo, en la anterior imagen se ha pintado el triángulo correspondiente al número primo de gris. Al igual que ocurría con la espiral de Ulam, sobre el triángulo numérico de Klauber los polinomios cuadráticos generan números que descansan sobre líneas rectas. En particular, los polinomios de la forma n2 + n + a, para algún número a, son líneas verticales, un ejemplo es el polinomio de Euler.

Triángulo de números primos de Klauber, en el cual están marcados como puntos azules los números primos, como puntos naranjas los números primos generados por el polinomio de Euler, n2 + n + 41, y los números no primos no aparecen, están en blanco. Imagen: Will Orrick / Wikimedia Commons

Pero volvamos a la obra artística de Esther Ferrer y a la espiral de Ulam hexagonal. Como en el caso de la espiral de Ulam clásica, en la espiral de Ulam hexagonal, se escriben los números naturales en orden creciente y formando una espiral, sobre una “colmena” o rejilla hexagonal (una especie de cuadrícula, pero formada por hexágonos y cuya forma general es también hexagonal), en cuyo centro hay un hexágono, para el número 1 (o el número inicial), y se van añadiendo filas de hexágonos alrededor del hexágono central, formando la rejilla hexagonal, como se muestra en la imagen de abajo.

Pequeña espiral de Ulam hexagonal, sobre una retícula hexagonal de lado 4, con los 37 primeros números, marcando en gris las casillas con números primos y señalada la espiral con una línea marrón discontinua

Sin embargo, no es esta la estructura hexagonal en espiral que considera la artista Esther Ferrer, quien trabaja, de hecho, con diferentes estructuras hexagonales en espiral. En la primera de ellas considera una rejilla triangular con forma hexagonal. Empieza en un hexágono central, que está dividido en seis triángulos equiláteros, sobre la que escribe los primeros seis números, y luego continúa escribiendo los números en orden creciente y en espiral sobre los triángulos equiláteros que están alrededor del hexágono central, y que van manteniendo la forma hexagonal del retículo, como se muestra en la imagen siguiente.

Ejemplo de espiral de tipo Ulam sobre una retícula triangular con forma hexagonal, sobre la que trabaja la artista Esther Ferrer, sobre la que se consideran los números naturales en orden creciente y en espiral, marcando de alguna forma los números primos

En la siguiente obra, en la cual se trabaja sobre la anterior estructura reticular, los triángulos se dividen en tres tipos, como ocurría en algunas de las obras que mostramos en la entrada El poema de los números primos, por una parte, están los triángulos que corresponden a números primos, que tienen color blanco y dibujado el correspondiente número primo (hay una excepción, que es la casilla del número 1, la cual se trata en esta obra como si fuese una casilla de un número primo, o podríamos decir como un no compuesto, en blanco y con el número escrito), y el resto de triángulos se corresponden con números no primos, o compuestos, luego en ellos no se dibuja su número y tendrán color rojo o negro en función de la laguna de números primos a la que pertenezca, coloreando las lagunas de rojo o negro de forma alternada, además, estos triángulos de números no primos, rojos o negros, tendrán espesor, altura, creando un relieve en la obra.

Maqueta de un proyecto de Esther Ferrer, basado en la serie Poema de los números primos (1989). Edición producida por ARTIUM, Centro-Museo Vasco de Arte Contemporáneo, en 2011. Cartón pluma blanco, pintado de rojo con acrílico y cartón pluma negro, ambos de diferentes espesores, cortados a mano en triángulos de 3 cm. y dispuestos sobre una base hexagonal de cartón de 71 x 62 cm aproximadamente

Como en otras obras, la intervención de la artista genera diferentes estructuras geométricas planas. A continuación, se muestran algunas obras que tienen como base la misma estructura espiral de tipo Ulam sobre la retícula triangular con forma hexagonal que acabamos de analizar.

Dibujo de la serie Poema de los números primos (1986 – 88), sobre una base hexagonal de 22,5 cm. de lado a lado, de la artista Esther Ferrer, realizada con rotulador sobre papel cebolla. Obra expuesta en la Galería Angels Barcelona
Dibujo de la serie Poema de los números primos (1986 – 88), sobre una base hexagonal de 23,5 cm. de lado a lado, de la artista Esther Ferrer, realizada con rotulador sobre papel cebolla. Obra expuesta en la Galería Angels Barcelona

Como en las obras que hemos mostrado en la entrada anterior, El poema de los números primos, con base en la espiral de Ulam, se puede iniciar la espiral en un número distinto al 1, como ocurre en la siguiente obra.

Dibujo de la serie Poema de los números primos (1986 – 88), sobre una base hexagonal de 27 cm. de lado a lado, de la artista Esther Ferrer, realizada con rotulador sobre papel cebolla. Obra expuesta en la Galería Angels Barcelona.

En otro grupo de obras, Esther Ferrer toma como base la retícula triangular con forma hexagonal descrita anteriormente, pero uniendo cada dos triángulos rectángulos para formar un rombo, creando así una retícula de rombos con forma hexagonal. Sobre esta estructura considera una espiral de tipo Ulam, al escribir los números naturales en orden creciente, cada número sobre un rombo y destacando los números primos. La intervención de la artista da lugar a toda una subfamilia de obras relacionadas con esta estructura, como la que se muestran a continuación.

Dibujo de la serie Poema de los números primos (1986 – 88), sobre una base hexagonal, de la artista Esther Ferrer, realizada con rotulador sobre papel cebolla. Obra expuesta en la Galería Angels Barcelona y perteneciente al catálogo Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta.

Pero dejemos estas estructuras geométricas hexagonales relacionadas con los números primos, para terminar con una obra relacionada con un tipo especial de números primos, los números primos gemelos. Recordemos que dos números primos son gemelos si están lo más cerca posible, es decir, con tan solo un número par entre ellos, como las parejas 11 y 13, 17 y 19, o 41 y 43. Esther Ferrer también se interesó por estos. De hecho, en la conversación de Esther Ferrer con Laurence Rassel y Mar Villaespesa con motivo de la exposición Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta, explica lo siguiente:

En ese universo, de pronto, aparece un par de númerosprimos gemelos, por ejemplo 11 y 13, 17 y 19, son como los cuerposcelestes que se descubren y no se sabe por qué están ahí. Un amigoingeniero me envió el número gemelo más grande calculado al ordenador,que entonces tenía 703 dígitos, ahora tiene muchas máscifras. Hice dos cuadros poniéndolos de relieve. Lo curioso es queme interesé en estos números sin pensar en absoluto en mi situaciónpersonal: soy gemela, fue una amiga quien me lo señaló.

Una de las conjeturas sobre los números primos gemelos es que existe un número infinito de parejas de números primos, aunque a día de hoy aún no ha sido posible demostrar esta conjetura. Por este motivo, dentro de la comunidad científica se siguen buscando parejas de números primos gemelos cada vez más grandes. En los años 1980 la pareja más grande conocida de números primos gemelos tenía 703 dígitos. De hecho, en la columna Mathematical Games de Martin Gardner en la revista Scientific American, en diciembre de 1980, menciona este dato y dice que esos dos primos empiezan por 4337 y terminan por 17759 y 17761.

La siguiente obra de Esther Ferrer toma como base esta pareja de números primos gemelos. El número explícito que está en el medio sería el número no primo y par que está entre los dos primos gemelos y que termina en 17760, mientras que a cada lado del mismo están ciertas estructuras geométricas planas generadas a partir de esos dos números primos gemelos.

Poema de los números primos (años 1980), rotulador e hilo sobre lienzo, 97,5 x 130 cm. Archivo Esther Ferrer y perteneciente al catálogo Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta.

Se ha avanzado mucho en la obtención de parejas de números primos gemelos desde entonces. En la actualidad la pareja más grande conocida, descubierta en 2016, está formada por el número primo 2.996.863.034.895 · 21.290.000 – 1 y 2.996.863.034.895 · 21.290.000 + 1, que tienen 388.342 dígitos.

Por último, me gustaría finalizar esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica con una frase de Esther Ferrer, que suele citar en muchas ocasiones, la última ha sido en la entrevista que le hicieron en el Diario Vasco con motivo de su exposición Esther Ferrer 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… en Tabakalera.

Yo en el arte hago lo que quiero sin más límite que mi responsabilidad

Así mismo, me gustaría expresar mi más sincero y profundo agradecimiento a Esther Ferrer por permitirme utilizar las imágenes de sus hermosas e interesantes obras en esta publicación, así como por las interesantes conversaciones que hemos mantenido sobre las matemáticas, y en particular, los números primos, en el conjunto de su obra artística.

Bibliografía

1.- Esther Ferrer, Maquetas y dibujos de instalaciones 1970/2011, Exit publicaciones, 2011.

2.- Rosa Olivares (comisaria), Esther Ferrer, Lau mugimenduan/En cuatro movimientos/In four movements, ARTIUM 08/10/2011 – 08/01/2012, Artium y Acción cultural española, 2011.

3.- Laurence Rassel y Mar Villaespesa (comisarias), Esther Ferrer, todas las variaciones son válidas, incluida esta, Palacio de Velázquez del Parque del Retiro 26/07/2017 – 25/02/2018, Museo Nacional Centro de Arte Reina Sofía, 2017.

4.- Página web de Esther Ferrer

5.- Página The Top Twenty: Twin Primes

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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